Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PD=2，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点

（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）若E是PB中点，求点B到平面EDC的距离。

Answer 1

(1)
菱形ABCD内，AC与BD垂直，
已知，PD与平面ABCD垂直，
所以，PD与平面 ABCD内的直线AC垂直，
已知，PD与BD交于点D，
所以，AC与平面PBD垂直，
而AC在平面ACE内，
所以，平面EAC与平面PDB垂直
(2)
已知，菱形ABCD内，AB=2，∠BAD=60°
所以，S△BCD=(1/2)*BC*CD*sin60°=√3，
连接EO，则EO是三角形PBD有中位线，
即，EO与PD平行，且，EO=(PD)/2=1
已知，PD与平面ABCD垂直，
所以，EO与平面ABCD垂直，
所以，VE_CDB=(1/3)*EO*S△BCD=(√3)/3
RT△DEO内，DE*DE=EO*EO+DO*DO=2，DE=√2
RT△EOC内，EC*EC=EO*EO+OC*OC=4，EC=2=CD
S等腰△CDE=(1/2)*(√2)*√(7/2)=(√7)/2
设点B到平面CDE的距离为h
VB_CDE=(1/3)*h*S△CDE=VE-BCD=(√3)/3
h=2(√21)/7