Question

∫-π/2到π/2 [sinx/(1+cosx)+丨x丨]dx 谢谢🙏

Answer 1

解：
令f(x)=sinx/(1+cosx)，定义域[-π/2，π/2]，关于原点对称。
f(-x)=sin(-x)/[1+cos(-x)]=-sinx/(1+cosx)=-f(x)
函数f(x)是奇函数，定积分得到的原函数必定是偶函数。
∫[-π/2：π/2][sinx/(1+cosx)]dx=0
令g(x)=|x|，定义与[-π/2，π/2]，关于原点对称。
g(-x)=|-x|=x=g(x)
g(x)是偶函数，定积分得到的原函数必定是奇函数。
∫[-π/2：π/2]|x|dx=2∫[0：π/2]xdx

∫[-π/2：π/2][sinx/(1+cosx)+|x|]dx
=∫[-π/2：π/2][sinx/(1+cosx)]dx+∫[-π/2：π/2]|x|dx
=0+2∫[0：π/2]xdx
=x²|[0：π/2]
=(π/2)²-0²
=π²/4