Question

求lim n趋向于无穷,[(1+x^n+(x^2/2)^n]^(1/n)=?(x≥0)

高等数学
微积分
求lim n趋向于无穷,[(1+x^n+(x^2/2)^n]^(1/n)=?(x≥0)

Answer 1

解：

（1）当0≤x≤1时，
x^n≤1，(x²/2)^n＜1，于是1≤[(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)≤3^(1/n)
因为lim n→∞ 3^(1/n)=1，由夹挤定理可知lim n→∞ [(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)=1
（2）当1＜x≤2时，
x≥x²/2，于是
x＜[(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)≤x(3^(1/n))
因为lim n→∞ x(3^(1/n))=x，所以lim n→∞ [(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)=x
（3）当x＞2时，
x＜x²/2，于是
x²/2＜[(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)＜x²/2 · (3^(1/n))
因为lim n→∞ x²/2 · (3^(1/n))=x²/2，所以lim n→∞ [(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)=x²/2

综上所述，lim n→∞ [(1+x^n+(x²/2)^n]^(1/n)=（分段）
【1，0≤x≤1
【x，1＜x≤2
【x²/2，x＞2