Question

复变函数，请问大神图中的题怎么做？

Answer 1

实部和虚部关于x和y的四个偏导数：
ux，uy，vx=2u*ux，vy=2u*uy。根据柯西-黎曼方程，得到
ux=2u*uy①
uy=-2u*ux②
把②代入①式的右边，得到
ux=2u*(-2u*ux)=-4u^2*ux，进而得到
(1+4u^2)*ux=0.
如果1+4u^2=0，那么u=-i/2是虚数，不满足要求。所以只能是ux=0.
所以u=∫uxdx=C(y)，代入②式得到uy=-2u*0=0=C'(y)，所以C(y)=C。
因此u=C，v=u^2=C^2.因此f(z)=C+iC^2.其中C是任意常数。