Question

设数列{an}，{bn}都是等差数列，它们的前n项和分别为sn，Tn

对一切n属于N*，都有S(n+3)=Tn
1.a1不等于b1，分别写一个符合条件的{an}和{bn}
2.若a1+b1=1，数列{cn}满足:cn=4^an+k*(-1)^(n-1)*2^bn，c(n+1)大于等于cn恒成立，求k最大值

Answer 1

答：
1
设an,bn的公差分别为d1,d2,
Sn=na1+n(n-1)d1/2,
Tn=nb1+n(n-1)d2/2,
令S(n+3)=(n+3)a1+(n+3)(n+2)d1/2=Tn=nb1+n(n-1)d2/2,
由n的多项式相等当且仅当n的相同次数项的系数相等可得
d1=d2,
a1+5d1/2=b1-d2/2,
3a1+3d1=0.
即
2d1=2d2=-2a1=b1.
取a1=-1,b1=2,d1=d2=1,
an=n-2,bn=n+1即是满足条件的{an}和{bn}.
2
a1+b1=1,由1知
a1=-1,b1=2.
cn=4^(n-2)+k(-1)^(n-1)*2^(n+1).
c(n+1)
=4^(n-1)+k(-1)^n*2^(n+2)
≥cn=4^(n-2)+k(-1)^(n-1)*2^(n+1).
3*4^(n-2)≥k*(-1)^(n-1)*2^(n+1)(1+2)
2^(n-5)≥k*(-1)^(n-1).
当n为奇数，
k≤2^(n-5),取n=1,k≤1/16.
当n为偶数，
k≥-2^(n-5),取n=2,k≥-1/8
综上k的取值范围是-1/8≤k≤1/16.
k的最大值为1/16。

Answer 2

答：
1
设an,bn的公差分别为d1,d2,
Sn=na1+n(n-1)d1/2,
Tn=nb1+n(n-1)d2/2,
令S(n+3)=(n+3)a1+(n+3)(n+2)d1/2=Tn=nb1+n(n-1)d2/2,
由n的多项式相等当且仅当n的相同次数项的系数相等可得
d1=d2,
a1+5d1/2=b1-d2/2,
3a1+3d1=0.
即
2d1=2d2=-2a1=b1.
取a1=-1,b1=2,d1=d2=1,
an=n-2,bn=n+1即是满足条件的{an}和{bn}.
2
a1+b1=1,由1知
a1=-1,b1=2.
cn=4^(n-2)+k(-1)^(n-1)*2^(n+1).
c(n+1)
=4^(n-1)+k(-1)^n*2^(n+2)
≥cn=4^(n-2)+k(-1)^(n-1)*2^(n+1).
3*4^(n-2)≥k*(-1)^(n-1)*2^(n+1)(1+2)
2^(n-5)≥k*(-1)^(n-1).
当n为奇数，
k≤2^(n-5),取n=1,k≤1/16.
当n为偶数，
k≥-2^(n-5),取n=2,k≥-1/8
综上k的取值范围是-1/8≤k≤1/16.
k的最大值为1/16。