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这一题考查了解析函数的柯西积分公式和复变函数积分的柯西定理。
首先来看柯西积分公式：
资料来源：
以及积分的柯西定理：
资料来源：
为了简单起见，先求f'(1)。
对于|z|<2的情况，因为z在积分回路所包围的区域内，而且分母是解析函数，所以
根据柯西积分公式，得到
注：上面的积分范围应该为|zeta|=2，手误。
对于|z|>2的情形。因为题目中要求的f'(3)属于z=3的情形，所以考虑2<|z|<4的情况。构造回路C：|z|=5.设原来的回路为L：|z|=2.设C和L之间的环形区域为D。那么被积函数
在区域D内有一个奇点为z。但是分子在区域D内解析。那么根据多连通域的柯西积分公式，有
另外，分子部分在整个C回路所包围的区域内也是解析的，所以
因此
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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