Question

定积分题，要详细解答过程，谢谢

定积分题，要详细解答过程，谢谢f（x）,g（x）连续，g(x)>0，证明：至少存在一点ξ∈［a,b］使得∫f(x)dx=f(ξ)∫g(x)dx

Answer 1

少条件？
如
f(x)=1 g(x)=10
∫f(x)dx=b-a≠f(ξ)∫g(x)dx=10(b-a)

g(x)∈C[a,b]是什么？

追问

应该没少条件，书上原题

指f（x）g（x）在［a,b］上连续

追答

查了一下
f(x),g(x)∈C[a,b]是a<=f(x),g(x)<=b

追问

那这题应该怎么做

追答

函数f(x)在区间[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别设为M,N.g(x)>0
N≤f(x)≤M
Ng(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)
∫[a,b] Ng(x)dx≤ ∫[a,b]f(x)g(x)dx≤ ∫[a,b]Mg(x)dx
N∫[a,b] g(x)dx≤ ∫[a,b]f(x)g(x)dx≤ M∫[a,b]g(x)dx
N≤ {∫[a,b]f(x)g(x)dx}/∫[a,b]g(x)dx≤ M,
所以存在ξ∈[a,b],使得,f(ξ)={∫[a,b]f(x)g(x)dx}/∫[a,b]g(x)dx,
即f(ξ)∫[a,b]g(x)dx,=∫[a,b]f(x)g(x)dx