Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， (1)求证：f(－x)＝－f(x)

Answer 1

已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴对于任意x，都有f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．

Answer 2

令x=y=0，得f(0)+f(0)=f(0),即2f（0）=f(0)，所以f(0)=0
令y=-x，有f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)