Question

收尾速度问题

收尾速度问题。空气对物体的阻力由许多因素决定。然而，一个有用的近似公式是：阻力f=-βν，其中，ν是物体的速度，β是一个与速度无关的常数。现在考虑空气中的一个自由下落物体，将z轴的正方向取为竖直向下。

求证：v(t)=（mg/β）（1-e^(-βt/m)）

希望解方程的过程也给出

Answer 1

质点的运动微分方程：(dv/dt)=g-βv/m
分离变量：[1/(g-βv/m)]dv=dt
积分上式：(-m/β)ln(g-βv/m)=t+C
由初始条件 t=0 v=0可得 C=(-m/β)lng
将C代入上式可得： -t=(m/β)ln[1-βv/mg]
即：ln(1-βv/mg)=-βt/m
解得：v=（mg/β）（1-e^(-βt/m)）