Question

已知ab是圆o的直径bc○o的切线切点为b，OC平行于弦AD，求证：DC是○O切线

都说是连接OD，可是有没有说D是CD上一点，所以连接OD就得到OD=AO怎么可能是对的嘛。连接OD岂不是平白无故多了一个OD=OA的条件？

Answer 1

【解说】既然题中有“OC平行于弦AD”，“弦AD”说明点D在⊙O上。

【证明】

连接OD，

∵OD=OA（同圆半径相等），

∴∠ODA=∠OAD（对边对等角），

∵OC//AD（已知），

∴∠DOC=∠ODA（两直线平行，内错角相等），

  ∠BOC=∠OAD（两直线平行，同位角相等），

∴∠DOC=∠BOC（等量代换），

在△DOC和△BOC中，

OD=OB（同圆半径相等），

∠DOC=∠BOC（已证），

OC=OC（公共边），

∴△DOC≌△BOC（SAS），

∴∠ODC=∠OBC（全等三角形对应角相等），

∵BC是⊙O的切线（已知），

∴∠OBC=90°（切线性质定理），

∴∠ODC=90°（等量代换），

∴DC是⊙O的切线（切线判定定理）。