Question

求解答，步骤

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Answer 1

求y=x^(1/x)的极值。

解：定义域：x>0

lny=(1/x)lnx；  y'/y=-(1/x²)lnx+1/x²=(1-lnx)/x²

令y'=y[(1-lnx)/x²]=[x^(1/x)][(1-lnx)/x²]=0

得lnx=1，故得唯一驻点x=e；当0<x<e时y'>0；当x>e时y'<0;

故x=e是极大点，极大值y=y(e)=e^(1/e).

x→0+limy=x→0+limx^(1/x)=x→0+lime^[(lnx)/x]=-∞;

x→+∞limy=x→+∞limx^(1/x)=x→+∞lime^[(lnx)/x]=x→+∞lime^(1/x)=1.