Question

若a,b是整数，且a²＋b²是3的倍数，证明a+b是3的倍数

Answer 1

证明：a²＋b²是3的倍数。
如果a是3的倍数，则b²必是3的倍数，也即b必然是3的倍数，则a+b必是3的倍数；
如果a不是3的倍数，则b必然也不是3的倍数，否则a²＋b²能被3整除。那么，a和b可表示为：
a=3m±1
b=3n±1
于是a²＋b²=9m²±6m+1＋9n²±6n+1
=9m²±6m＋9n²±6n+2
不能被3整除。得出矛盾。
所以，只能是第一种情况，a和b均为3的倍数，a+b自然能被3整除。