Question

第三道题，请问怎么做，，

第三道题，请问怎么做，，大一高等数学，，，

Answer 1

解：
f''(x)={[f(x)]²}'=2f(x)·f'(x)=2f(x)·[f(x)]²=2[f(x)]³=(2!)·[f(x)]³
f'''(x)=(3·2·1)[f(x)]²·f'(x)=(3!)·[f(x)]⁴
…………
f(n)(x)=(n!)·[f(x)]ⁿ⁺¹
选A

以上是由规律直接得出结论，严格的证明过程如下：
f''(x)=(2!)·[f(x)]³
假设当n=k(k∈N*且k≥2)时，f(k)(x)=(k!)·[f(x)]^(k+1)，则当n=k+1时
f(k+1)(x)={(k!)·[f(x)]^(k+1)}'
=(k+1)·(k!)·{[f(x)]^k}·f'(x)
=[(k+1)!]·{[f(x)]^k}·[f(x)]²
=[(k+1)!]·f(x)^(k+2)
=[(k+1)!]·f(x)^[(k+1)+1]
等式仍成立。
k为任意不小于2的正整数，因此，对于任意不小于2的正整数
f(n)(x)=(n!)·[f(x)]ⁿ⁺¹