Question

MATLAB 定积分上限是变量a，如何求解目标函数关于变量a的最大值？谢谢

如何目标函数除了包含定积分，还包括其他关于a的非线性函数，如第二个函数所示，请问如何求解？？感谢！！

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Answer 1

无约束极值问题，求原积分的最大值等效为求其相反数的极小值

>> fun=@(x)0.82*0.49*exp(6.72-47.7./x).*exp(-0.05*x); % 被积函数
>> f = @(a) integral(fun,0.01,a); % 定积分
>> obj = @(x) -f(x); % 定积分的相反数作为要求极小值的目标函数
>> [a,val] = fminsearch(obj,1) % 无约束极值

a =

  938.5500


val =

 -7.430055148537375e+02

最后结果表明在a=938.55时，f(a)取最大值743.0055148537375

实际上，根据被积函数的图像可知，这个定积分即下图与坐标轴围成的面积是递增的，只不过当a达到一定值后，变化较小了

例如，当a=938和a=1000时，f(a)的差异微乎其微：

>> f(968)-f(1000)

ans =

     1.298076313105412e-09

追问

真的非常感谢！我被这个问题折磨了好几天，百思不得其解，自己太菜鸟了。
我刚刚补充了一下问题：如何目标函数除了包含定积分，还包括其他关于a的非线性函数，如第二个函数所示，请问如何求解？？太感谢您啦！！多有打扰！！

追答

你后面补充的式子，那个求和并不是直接定积分啊

追问

我写错了，要将求和符号改成定积分符号

追答

好的。还有另一个问题，a有取值范围么？如果没有的话，那么a左趋近于20，例如取a=19.9999，那么f(a)=+oo就是最大值啊，因为：a左趋近于20时，exp(6.72-47.7./(a-20))这一项为正无穷

追问

是这个a的最终取值必须大于20 ，定积分那里a下限还是0.01

追答

好的，那就是一个带下限约束的极值问题，参考以下代码：

fun=@(x)0.82*0.49*exp(6.72-47.7./x).*exp(-0.05*x); % 被积函数
f = @(a) (52*0.49*exp(6.72-47.7./(a-20)).*exp(-0.05*a)-10+0.05*10*integral(fun,0.01,a))./(1-exp(-0.05*a));
obj = @(x) -f(x);
[a,val]= fmincon(obj,30,[],[],[],[],20,inf,[],optimset('Algorithm','interior-point'))

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>


a =   53.3653


val = -639.1368

表明a=53.3653时，f(a)取得局部极大值639.1638

++++++++++++++++

虽然以上是局部最优值，但是通过简单作图f(a)的图像可知，上述a值已经是最大值了