Question

如图，四边形ABCD中，∠B=90°AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平

如图，四边形ABCD中，∠B=90°AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC。求证 （1）AM⊥DM
（2）M为BC的中点

Answer 1

证明：

（1）

∵AB//CD（已知），

∴∠BAD+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴∠DAM=1/2∠BAD，∠ADM=1/2∠ADC，

∴∠DAM+∠ADM=1/2（∠BAD+∠ADC）=90°

∴∠AMD=90°，

即AM⊥DM.

（2）

【证法1】用角平分线上的点到角两边距离相等来证明。

过点M作ME⊥AD于E，

则∠AEM=∠B=90°，

∵AM平分∠BAD，

∴BM=EM（角平分线上的点到角两边距离相等），

∵AB//CD，

∴∠C=∠B=90°，

∴∠MED=∠C=90°，

∵DM平分∠ADC，

∴EM=CM，

∴BM=CM，

即M为BC的中点.

【证法2】用全等来证明.

延长AM、DC交于E，

∵AM平分∠BAD，

∴∠BAM=∠DAM，

∵AB//CD，

∴∠BAM=∠E，

∴∠DAM=∠E，

∴AD=ED，

∵∠AMD=90°，

∴AM=EM（三线合一），

在△AMB和△EMC中，

∠BAM=∠E，AM=EM，∠AMB=∠EMC，

∴△AMB≌△EMC（ASA），

∴BM=CM，

即M为BC的中点.

Answer 2

😓几年