判断收敛性 若收敛 求级数值 arctan(1/n(n-1))的级数
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解：分享一种解法。
∵n→∞时，lim(n→∞)arctan[1/(n^2+n+1)]=0，由级数收敛的必要条件，得∑arctan[1/(n^2+n+1)]收敛。
设n+1=tanα，n=tanβ，则α-β=arctan(n+1)-arctann。
又，tan(α-β)=[(n+1)-n]/[1+n(n+1)]=1/(n^2+n+1)，
∴arctan[1/(n^2+n+1)]=arctan(n+1)-arctann，
∴∑arctan[1/(n^2+n+1)]=∑(arctan(n+1)-arctann)=lim(n→∞)[arctan(n+1)-arctan1]，
∴∑arctan[1/(n^2+n+1)]=π/2-π/4=π/4。供参考。
∵n→∞时，lim(n→∞)arctan[1/(n^2+n+1)]=0，由级数收敛的必要条件，得∑arctan[1/(n^2+n+1)]收敛。
设n+1=tanα，n=tanβ，则α-β=arctan(n+1)-arctann。
又，tan(α-β)=[(n+1)-n]/[1+n(n+1)]=1/(n^2+n+1)，
∴arctan[1/(n^2+n+1)]=arctan(n+1)-arctann，
∴∑arctan[1/(n^2+n+1)]=∑(arctan(n+1)-arctann)=lim(n→∞)[arctan(n+1)-arctan1]，
∴∑arctan[1/(n^2+n+1)]=π/2-π/4=π/4。供参考。
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2024-04-08 广告
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