Question

如图,在△ABC中,∠C=90º,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分

如图,在△ABC中,∠C=90º,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由。
(2)若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长。

Answer 1

（1）DE是⊙O的切线。

证明：

连接OD，

在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∵EF垂直平分BD，

∴ED=EB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），

∴∠EDB=∠B，

∴∠ODE=180°-∠ODA-∠EDB=180°-∠A-∠B=90°，

∴DE是⊙O的切线。

（2）

连接OE，

设DE=BE=X，则CE=BC-X=8-X，OD=OC=AC-OA=6-2=4，

OE^2=OC^2+CE^2=OD^2+DE^2

4^2+（8-X）^2=2^2+X^2

16+64-16X+X^2=4+X^2

16X=76

X=19/4

线段DE的长为19/4（或4.75）.