函数是讲的什么
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量。
函数是一个数学概念，也是从我们初中开始知道本科硕士甚至博士都会接触到的一个概念。那么函数究竟是什么呢？
函数的一般定义
我们学过的最经典的定义莫过于“一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。”这个定义其实就已经可以解决绝大部分的问题。
近代以后，集合的概念出现，函数的定义也开始与集合扯上关系：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域，f叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。若省略定义域，一般是指使函数有意义的集合。笔者认为，在定义上做过多细枝末节的纠缠没有意义。就像民事诉讼法中的诉讼标的，旧说认为是争议的法律关系，新说就眼花缭乱，但是对实务并没有太大帮助。
函数中最需要注意的是，只要满足对应关系，就是函数，不需要必须能用公式表示出来。比如，公历日期和当天的平均温度就是满足上述构成要件的函数，但是这个函数关系不能用公式表示。而且按照集合定义，函数与映射在数学上几乎没有本质区别。
函数的发展历史
西方：
①伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
②1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系 。
③1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
④1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
⑤1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
⑥1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
⑦1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
⑧1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
⑨1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
⑩1930 年，新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。元素x称为自变量，元素y称为因变量。”中国：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组 。函数的表示方法
函数的表示方法有列举法，图表法，解析式法，语言描述法。但是要注意，在这其中前三种方法都不能用来描述所有的函数。
①图表法不能用来表示的函数：诸如f(x)=:1（x为有理数）；0（x为无理数）这样的函数是不能用图表法表示的。
②列举法不能用来表示的函数：所有的无限函数，列举法的概括都是不全面也不可能全面的。
③解析式法：诸如日期与温度这样的随机数性质的函数不能用解析式表示。
函数的性质
认识并掌握一个函数，一般可以从有界性，单调性，奇偶性，周期性，连续性，凹凸性等方面加以认识。当然，这里指的绝大部分都是可以用解析式表示的函数。
基本初等函数
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。当然，在实际教学中，一次函数，二次函数与三次函数也被视为基本初等函数。
对二元性的突破
函数并非只可以指一对一的关系，一个变量完全可以与多个变量发生关系。一对一的函数可以在平面直角坐标系中表示，而二元函数（如f(x,y)=）可以在空间直角坐标系中表示。更多元的函数虽然无法用图像表示，但是它们在多维空间中是一定存在的。事实上。日常生活中的事件都是多个因素叠加的结果，研究多元函数有其更为深远的实践意义。
