Question

等价无穷小是用洛必达法则推出来的？

Answer 1

当然不是，有些等价无穷小，不需要或不可以使用洛必达法则，是用其他方法做的。
例如当x→0的时候，x²和x²+x是等价无穷小，这个用洛必达法则可以算，但是直接分子分母痛处除以x²，更容易算，一般不用洛必达法则。
还有当x→0的时候，sinx和x是等价无穷小。但是lim（x→0）sinx/x=1这个极限不能用洛必达法则计算。因为sinx的导数是cosx，这个推导过程中，使用了lim（x→0）sinx/x=1这个结论。所以在证明lim（x→0）sinx/x=1过程中，如果用洛必达法则，就属于循环证明，是种证明逻辑错误。这个是用夹逼原理来做的。
所以不一定是用洛必达法则做的。

Answer 2

lim(x→0)(x²-sin²x)/x^4
=lim(x→0)(x+sinx)(x-sinx)/x^4
=lim(x→0)(x+sinx)x³/6x^4
=1/6*lim(x→0)(x+sinx)/x
=1/6*(1+1)
=1/3
lim(x→0)(x²-sin²x)/x^4
=lim(x→0)(2x-2sinxcosx)/4x³
=lim(x→0)(2x-sin2x)/4x³
=lim(x→0)(2-2cos2x)/12x²
=lim(x→0)(1-cos2x)/6x²
=lim(x→0)2sin2x/12x
=lim(x→0)2cos2x/6
=1/3
等价替换也好洛必达法则也好都是1/3,你是怎麼算错的?