Question

什么是矩阵的特征值以及其物理意义

Answer 1

设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue).非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量.

Answer 2

■ 对于一阶微分方程组，分离出系数矩阵A，对A求特征值和特征向量，由P和Λ求得标准基解矩阵 eᴬᵗ＝P e^(Λt)P⁻¹，从而可求出一阶微分方程组的函数解。
■ 一阶微分方程组描述动态电路时域解。有人说: 特征值＝电路频率，此话欠正确。RLC串联为例，电路由二个线性微分方程组描述，令RLC电路0激励有初值。① 特征值为互异负实数(α、β)，它们是e的衰减指数，电路处于过阻尼态: 特征值 ≠ 频率。② 特征值为相同负实数，电路临界阻尼态: 特征值 ≠ 频率。③ 特征值为二复数( α ± jβ )，α 表示e负指数；虚数β 表示振荡频率，虽说是二个虚数 ( ± jβ )，实际频率只有一个β，e^(jβ) 与 e^(-jβ) 对应 (Acosβt＋Bsinβt)，其中 β＝ω(频率)。实系数高次方程根，如有复数根一定是共轭复数(二根)。
■ 振荡频率β是减幅振荡频率，β随R变化而变化，β(R)＝f(R1，R2，··· ) 很神奇。β不同于谐振频率，谐振频率与R无关: ωo＝1/√LC。