Question

高数第13题

Answer 1

∫(Mx+N)/(x^2+px+q)dx
凑微分，凑成dln(x^2+px+q)的形式
=∫(2x+p)*M/2+N-Mp/2)/(x^2+px+q)dx
=∫(2x+p)*M/2)/(x^2+px+q)dx+(N-Mp/2)/(x^2+px+q)dx
=M/2*ln(x^2+px+q)+∫(N-Mp/2)/(x^2+px+q)dx
∫(N-Mp/2)/(x^2+px+q)dx
凑微分，凑成 arctanX的形式
=∫(N-Mp/2)/[(x+p/2)^2+(4q-p^4)/4]dx
=∫[4(N-Mp/2)/(4q-p^4)]/{[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]^2+1}dx
因为：darctan[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]
=[2/√(4q-p^4)]/{[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]^2+1}
所以
∫[4(N-Mp/2)/(4q-p^4)]/{[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]^2+1}dx
=∫[4(N-Mp/2)/(4q-p^4)][√(4q-p^4)/2]darctan[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]
=[2(N-Mp/2)/√(4q-p^4)]*arctan[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]+c
则原式=M/2*ln(x^2+px+q)+[2(N-Mp/2)/√(4q-p^4)]*arctan[2(x+p/2)/√(4q-p^4)]+c
总结一下：
当分子上面有与分母同幂次的多项式，降次。
当比分母低一个阶次时，凑微分成lnX的形式。
当分子不再含有x，只有常数时，凑微分arctanX!

Answer 2

我初中的