Question

高二数学导数题

高二数学导数题第二小题

Answer 1

追问，重新发一下图，清晰度不够，而且无法旋转。

追问

追答

f'(x)=(x-c)²+2x(x-c)=(x-c)(3x-c)
得极值点为x=c,c/3
因此C=2或C/3=2,得C=2或6
当C=2时,极值点为2,2/3,其中x=2为极小值点,不符题意；
当C=6时,极值点为6,2,其中x=2为极大值点,符合题意.
综合得：C=6

追问

第二小题

追答

（2）由（1）知f（x）=x（x-6）2，f′（x）=3（x-2）（x-6），
假设存在点M（a，a（a-6）2），使经过点M的切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，
切线方程为y-a（a-6）2=3（a-2）（a-6）（x-a），
设g（x）=f（x）-[a（a-6）2+3（a-2）（a-6）（x-a）]，
切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，即函数g（x）有且仅有一个零点．
g′（x）=f′（x）-3（a-2）（a-6）=3（x-a）（x+a-8），
若a=4，则g′（x）=（x-4）2≥0，g（x）单调递增，有且仅有一个零点x=a．
若a＜4，类似（1）讨论知，g（x）在（a，8-a）单调递减，在（8-a，+∞）单调递增，
∴g（8-a）＜g（a）=0，从而g（x）在（8-a，+∞）有一个零点，
∴g（x）在定义域有两个零点．
同理，若a＞4，g（x）在定义域有两个零点．
综上所述：存在唯一一点M（4，16），经过点M的切线与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点．