Question

求助以下微积分：1.∫√(x^2+1)/x^2dx 2.∫x^3/√(1-x^8) 3.∫1/x√(9x^2-1)dx 4.∫1/√(25-4x^2)dx

会做其中的任意都可以回答！！谢谢大家了！！【鞠躬】

Answer 1

换元x=tanu，
=∫secu/tan²udtanu
=∫cosu/sin²ucos²udu
=1/2∫1/sin²u+1/cos²udsinu
=-1/2sinu+(ln(1+sinu)-ln(1-sinu))/4+C

追答

=1/4∫1/√(1-x^8)dx^4=arcsin(x^4)/4+C

换元x=secu/3，
=∫3/secutanudsecu/3
=u
=arccos|1/3x|+C

换元x=5sinu/2，
=∫1/5cosud5sinu/2
=u/2
=arcsin(2x/5)/2+C

三角换元脱根号，要学会熟练掌握

追问

第二三四题明白啦，跟我后来算的结果一样。但是第一题还不是很懂，能不能再解释一下？辛苦啦~

追答

那就换个写法，
=∫secu/tan²udtanu
=∫sec³u/tan²udu
=∫secu+secu/tan²udu
其中∫secudu=ln|secu+tanu|
而∫secu/tan²udu=∫cosu/sin²udu=-1/sinu=-cscu
即=ln|tanu+secu|-cscu+C
这样简化多了吧？

追问

嗯嗯，谢谢！！