Question

已知直线y=1/2x与双曲线y=k/x(k>0)交A.B两点，且点A的横坐标为4.

(1)求k的值
(2)若双曲线y=k/x(k>0)上一点C的坐标为8，求三角形AOC的面积
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=k/x(k>0)于P.Q两点为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标

Answer 1

已知直线y=1/2x与双曲线y=k/x(k>0)交于A.B两点,且点A的横坐标为4,

1. 求K的值
解：把A点横坐标代入直线方程，解得y=2
所以 A(4, 2)
因为 A在双曲线上
所以 2=k/4
所以 k=8

2. 若双曲线y=k/x(k>0)上一点C的纵坐标为8,求三角形AOC的面积
解：双曲线方程为：y=8/x
因为 C点纵坐标为8
所以 8=8/x
所以 x=1
所以 C(1, 8)
设A、C所在直线与x轴交于D
那么AC所在直线为：y=-2x+10
所以 D(5, 0)
所以 S△COD＝(1/2)×5×8＝20，S△AOD＝(1/2)×5×2＝5
所以 S△AOC＝20－5＝15

3. 过原点O的另一条直线L交双曲线y=k/x(k>0)于P.Q两点(P在第一象限),若由点A.B.P.Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标
解：y=(1/2)x 与 y=8/x 的交点为：A(4, 2), B(-4, -2)
所以 AB=4√5
因为 四边形APBQ面积是24
所以 S△APB＝12
所以 P到AB距离＝6√5/5
因为 P在双曲线上
设P(Xp, 8/Xp)
根据点到直线距离公式，d＝|Xp-16/Xp|/√5=6√5/5
所以 Xp＝8 或者 Xp＝-2(舍去) 或者 Xp＝-8(舍去) 或者 Xp＝2
所以 P(8, 1) 或者 P(2, 4)

Answer 2

已知直线y=1/2x与双曲线y=k/x(k>0)交于A.B两点,且点A的横坐标为4,

1. 求K的值
解：把A点横坐标代入直线方程，解得y=2
所以 A(4, 2)
因为 A在双曲线上
所以 2=k/4
所以 k=8

2. 若双曲线y=k/x(k>0)上一点C的纵坐标为8,求三角形AOC的面积
解：双曲线方程为：y=8/x
因为 C点纵坐标为8
所以 8=8/x
所以 x=1
所以 C(1, 8)
设A、C所在直线与x轴交于D
那么AC所在直线为：y=-2x+10
所以 D(5, 0)
所以 S△COD＝(1/2)×5×8＝20，S△AOD＝(1/2)×5×2＝5
所以 S△AOC＝20－5＝15
3.
第一种情况（当p点在A点上面时）：
作平行于x轴且经过p点的直线交一条平行于y轴且经过B点的直线于c点，交另一条平行于y轴且经过A点的直线于d点。平行于y轴且经过B点的直线交一条平行于X轴经过Q点的直线于e点。平行于y轴且经过A点的直线交另一条平行于x轴且经过Q点的直线于F点。然后依次连接A，P，B，Q，A。设p点坐标为（X，8/X），则Q点坐标为（-X，-8/X）。由题意得：
8*2*8/x(s四边形dceF)-（4-x）*（8/x-2）（s三角形dpa与s三角形beq）-（x+4）*（2+4）（s三角形cbp与s三角形aqf）=24
解得：x=2
所以 p点坐标为（2,4）

第二种情况（当p点在A点下面时）：
作平行于x轴且经过A点的直线交一条平行于y轴且经过Q点的直线于c点，交另一条平行于y轴且经过p点的直线于d点。平行于y轴且经过Q点的直线交一条平行于X轴经过B点的直线于e点。平行于y轴且经过p点的直线交另一条平行于x轴且经过B点的直线于F点。然后依次连接A，P，B，Q，A。设p点坐标为（y，8/y），则Q点坐标为（-y，-8/y）。由题意得：
4*2y(s四边形dceF)-（2-8/y）*（y-4）（s三角形dpa与s三角形beq）-（8/y+2）*（y+4）（s三角形cbp与s三角形aqf）=24
解得：y=8
所以 p点坐标为（8,1）