Question

设f(x)是以3为周期的连续奇函数,已知∫6-12(x+5)f(x)dx=2,求∫0-3xf(x)

设f(x)是以3为周期的连续奇函数,已知∫6-12(x+5)f(x)dx=2,求∫0-3xf(x)dx

Answer 1

计算过程如下：

因为f(x)是以3为周期的连续奇函数

∫[6：12](x+5)f(x)dx=2∫[-3/2：3/2][xf(x)+5f(x)]dx=2∫[-3/2：3/2]xf(x)dx+2∫[-3/2：3/2]5f(x)dx=2∫[0：3]xf(x)dx

∫[6：12](x+5)f(x)dx=2

2∫[0：3]xf(x)dx=2

∫[0：3]xf(x)dx=1

奇函数的性质：

两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 ，一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数，一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

Answer 2

解：
f(x)是以3为周期的连续奇函数
∫[6：12](x+5)f(x)dx
=2∫[-3/2：3/2][xf(x)+5f(x)]dx
=2∫[-3/2：3/2]xf(x)dx+2∫[-3/2：3/2]5f(x)dx
=2∫[0：3]xf(x)dx+0
=2∫[0：3]xf(x)dx
∫[6：12](x+5)f(x)dx=2
2∫[0：3]xf(x)dx=2
∫[0：3]xf(x)dx=1

Answer 3

∵函数f（x）是以5为周期的奇函数，
∴f（x+5）=f（x），f（-x）=-f（x）．
∵f（-3）=2，
∴f（-2）=f（-2+5）=f（3）=-f（-3）=-2．