Question

关于大一的极限问题

关于大一的极限问题此题为什么不对？

Answer 1

x->0
ln(1+x) ~ x
(1+x)ln(1+x) ~ x+x^2
x- (1+x)ln(1+x) ~ -x^2
---------------------------------
L = lim(x->0+) [(1+x)^(1/x^2) / e ^(1/x)
=lim(x->0+) [(1+x)^(1/x) / e ] ^(1/x)
lnL = lim(x->0+) ln [(1+x)^(1/x) / e ] /x (0/0)
= lim(x->0+) { 1/[x.(1+x)] - ln(1+x) /x^2 }
=lim(x->0+) [ x - (1+x) ln(1+x) ]/[x^2.(1+x)]
=lim(x->0+) [ x - (1+x) ln(1+x) ]/x^2
=lim(x->0+) -x^2/x^2
= -1
L = e^(-1)
=>lim(x->0+) [(1+x)^(1/x^2) / e ^(1/x) = e^(-1)

Answer 2

设y=（1+x）^(1/x^2)/e^(1/x)
那么lny=1/x^2*ln(1+x)-1/x
使用泰勒公式
ln(1+x)=x-x^2/2
带入得到
lny=1/x^2*(x-x^2/2)-1/x
=-1/2
所以y=e^(-1/2)

追问

感谢，我更想知道前种解法为什么不对

追答

我记得（1+x）^(1/x)的适用性，
不会再有变量了。（1+x）^(1/x^2)=(1+x)^[(1/x)*(1/x)]不会等于e^(1/x)
当x=0.01时，(1+0.01)^(1/0.01^2)=1.635828711*10^(43)
e^(1/0.01)=2.688117142*10^(43)
两者并不相等！

Answer 3

谁教你说可以只求底数的极限,指数不求的?
幂指函数y=f(x)^g(x),求极限是当f(x)与g(x)的极限同时存在(分别设为a和b)时,y的极限为a^b,你现在就知道底数极限是e,指数极限不存在,你怎么能先求底数的e出来?

追问

一直不知道有这种东西

追答

那你为什么会想到去求底数的极限呢?

追问

因为底数求极限就等于e，上下就直接约去了

追答

那现在我就告诉你求幂指函数的极限,是不可能只求底数或者只求指数的,要求就同时求.