Question

幂级数收敛域求解

Answer 1

设Un=(x+1)^n/(n*3^n)
Un+1=(x+1)^(n+1)/[(n+1)*3^(n+1)]
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim n→∞ |{(x+1)^(n+1)/[(n+1)*3^(n+1)]}/[(x+1)^n/(n*3^n)]|
=lim n→∞ |[(x+1)^(n+1)*(n*3^n)]/[(x+1)^n*(n+1)*3^(n+1)]|
=lim n→∞ |x+1| n/[3(n+1)]
=lim n→∞ |x| 1/[3(1+1/n)]
=|x+1|/3＜1
|x+1|＜3
所以收敛区间为(-4，2)
当x=2时，Un=(3)^n/(n*3^n)=1/n
此时为调和级数，所以级数发散。
当x=-4时，Un=(-3)^n/(n*3^n)=(-1)^n/n
交错级数用莱布尼茨判别法
设an=1/n
(1)an+1=1/(n+1)＜an
(2)lim n→∞ an=lim n→∞ 1/n=0
所以该级数收敛。
综上，收敛域为[-4，2)