Question

高数 格林公式

求曲线积分 Xdy-Ydx/(x平方+y平方) 曲线是 （X+1）的平方+Y平方=1

这个题我们老实说和高数书的例题完全一样 就是情况不同 因为这个的曲线包含原点
我们用的书是高等教育出版社 题在 高等数学 下 146例题4

求高手能详细的解释下这个题 老师在讲格林公式的时候我在飞机上飞呢
弄懂我还有加分了 先谢谢了
题好像错了 是(X+1)平方+Y平方=2

Answer 1

这个不满足格林公式的条件，在P(x,y)和Q(x,y)在原点没有定义，不连续。 

正确的解法：设原点到曲线L的最小距离是d，取0<r<d.此时P(x,y)和Q(x,y)在圆C:x^2+y^2=r^2和L所围成的区域D上满足格林公式

等于2一样的嘛，把最后的积分改一改就可以了！图片不能改我就不改了

主要是搞明白方法！

Answer 2

题有问题吧？这个（Xdy-Ydx）/(x平方+y平方)
格林公式是面积分与线积分的联系，这道题直接应用格林公式，也就是把线积分转换成面积分，你可以看到曲线刚好过原点，(x平方+y平方)分母不能为零，所以在转换的时候要去掉原点，可以在原点周围以极小的半径取一圆。在这个刨去原点的区域内由格林公式可知积分为0，所以原来的曲线积分等于沿那个小圆的曲线积分（如果都以逆时针为正向），而在那个小圆上求积分是很简单的。

Answer 3

那个曲线的参数方程是x = cost-1，y = sint，0<t<2π
∫(L)(xdy-ydx)/(x²+y²) = ∫(0,2π)(sin²t+cos²t-cost)dt/(sin²t+cos²t-2cost+1) = ∫(0,2π)(1-cost)dt/(2-2cost) = π，在端点处有间断点不影响定积分的值。

或者用全微分
因为(xdy-ydx)/(x²+y²) = x²d(y/x)/(x²+y²) = d[arctan(y/x)]
积分之后就是arctan(y/x)|L
用参数方程代换之后就是arctan[sint/(cost-1)]|(0,2π)
t从0+方向趋近于0时，sint/(cost-1)的右极限是-∞
arctan(-∞)就是-π/2
t从2π-方向趋近于2π时，sint/(cost-1)的左极限是+∞
arctan(+∞)就是π/2
两者相减就是π

格林公式要求被积函数在L及L围成的区域上连续，显然本题不符合条件

Answer 4

...如果这样的话 那就和书上的例题 基本一样 看看书吧 这个积分就等去 小圆的积分