Question

提问一道奥数题（初二）

求证三角形三条高交于同一点
我也知道，关键咋证

Answer 1

设△ABC，AD⊥BC交BC于D，
CF⊥AB交AB于F，交点为O，
连BO延长交AC于E，
过A作BC平行线MN，
过B作AC平行线PM，
过C作AB平行线PN，
交点为M，N，P，
连OM，ON，OP，
∵BCAM是平行四边形，∴BC=AM，
同理：BC=AN，
∴A是MN的中点，又OA⊥MN，
∴OM=ON，
同理：ON=OP，
∴OM=OP，即B是MP的中点，
∴BO或BE⊥AC，
∴三条高AD，BE，CF交于O，
证毕。

Answer 2

画一个三角形作其中两条高，连两高交点个第三个顶点，证明其与第三边垂直即可

Answer 3

已知：ΔABC中，AD、BE是两条内角平分线，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 求证：CF是角ACB的角分线 证明：过O做OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OP⊥BC于P， 由角分线性质得：OM=ON=OP 所以，CO为角ACB的平分线 命题得证

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此三角形三条高交于一点

Answer 4

上面都是高手！不用我门了