Question

1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有两个极值点,则实数a的取值范围为____

1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有两个极值点,则实数a的取值范围为____

2.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有三个零点,则实数a的取值范围为____

3.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1在R上的单调增函数,则实数a的取值范围为____

Answer 1

Answer 2

1、函数f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1，f‘(x)=3x²+6ax+3a+6，
∵函数f(x)有两个极值点，既有极大值又有极小值，
∴f′(x)=0有两个不相等的实数根，
∴△=36a²-36a+72>0，
∴a²-a-2>0，
∴a<-1或a>2，
2、令f‘(x)=0，即3x²+6ax+3a+6=0，解得x₁=-a-√(a²-a-2)，x₂=-a+√(a²-a-2)，
由1、知f(x₁)>0，f(x₂)<0，即(-a-√(a²-a-2))³+3a(-a-√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a-√(a²-a-2))+1>0，
(-a+√(a²-a-2))³+3a(-a+√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a+√(a²-a-2))+1<0，

∴(2a-√(a²-a-2))(-a-√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a-√(a²-a-2))+1>0，
((2a-√(a²-a-2))(-a-√(a²-a-2))+3a+6)(-a-√(a²-a-2))+1>0，
(-a²+2a+4-a√(a²-a-2))(-a-√(a²-a-2))+1>0，
2a³-3a²-6a+2a²√(a²-a-2)-2a√(a²-a-2)-4√(a²-a-2)+1>0，
2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³>0，
令g(a)=2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³，则g‘(a)=6a²-6a-6+3(2a-1)√(a²-a-2)，
令g‘(a)=0，即6a²-6a-6+3(2a-1)√(a²-a-2)=0，解得a=-2或3，g(-1)=2，g(2)=-7，g(3)=26，
∵ 当a<1/2时， g(a)最小值为g(-2)=1，∴当a<-1时，2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³>0 恒成立，
当a>2.3949时， 2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³=(2a-1)(a²-a-2)+2√(a²-a-2)³-3a-1>0恒成立，
∴ f(x₁)>0的解为a<-1，或a>2.3949，
(-a+√(a²-a-2))³+3a(-a+√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a+√(a²-a-2))+1<0，即2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³<0，
令h(a)=2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³，则h‘(a)=6a²-6a-6-3(2a-1)√(a²-a-2)，
令h‘(a)=0，即6a²-6a-6-3(2a-1)√(a²-a-2)=0，解得a=-2或3，h(-1)=2，h(2)=-7，h(3)=26，
当a<-1.175时，2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³<0恒成立，
当a>2时， 2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³<0恒成立，
∴ f(x₂)<0的解为a<-1.175，或a>2，
∴函数f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1有三个零点，则实数a的取值范围为a<-1.175，或a>2.3949，
3、由1、知，-1≤a≤2。