1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有两个极值点,则实数a的取值范围为____ 5

1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有两个极值点,则实数a的取值范围为____2.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有三个零点,则实数a... 1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有两个极值点,则实数a的取值范围为____

2.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有三个零点,则实数a的取值范围为____

3.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1在R上的单调增函数,则实数a的取值范围为____
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数学天才SFY
2017-05-19 · TA获得超过278个赞
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百度网友2cd0b5c
2017-05-23 · TA获得超过6109个赞
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1、函数f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1,f‘(x)=3x²+6ax+3a+6,
∵函数f(x)有两个极值点,既有极大值又有极小值,
∴f′(x)=0有两个不相等的实数根,
∴△=36a²-36a+72>0,
∴a²-a-2>0,
∴a<-1或a>2,
2、令f‘(x)=0,即3x²+6ax+3a+6=0,解得x₁=-a-√(a²-a-2),x₂=-a+√(a²-a-2),
由1、知f(x₁)>0,f(x₂)<0,即(-a-√(a²-a-2))³+3a(-a-√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a-√(a²-a-2))+1>0,
(-a+√(a²-a-2))³+3a(-a+√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a+√(a²-a-2))+1<0,

∴(2a-√(a²-a-2))(-a-√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a-√(a²-a-2))+1>0,
((2a-√(a²-a-2))(-a-√(a²-a-2))+3a+6)(-a-√(a²-a-2))+1>0,
(-a²+2a+4-a√(a²-a-2))(-a-√(a²-a-2))+1>0,
2a³-3a²-6a+2a²√(a²-a-2)-2a√(a²-a-2)-4√(a²-a-2)+1>0,
2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³>0,
令g(a)=2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³,则g‘(a)=6a²-6a-6+3(2a-1)√(a²-a-2),
令g‘(a)=0,即6a²-6a-6+3(2a-1)√(a²-a-2)=0,解得a=-2或3,g(-1)=2,g(2)=-7,g(3)=26,
∵ 当a<1/2时, g(a)最小值为g(-2)=1,∴当a<-1时,2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³>0 恒成立,
当a>2.3949时, 2a³-3a²-6a+1+2√(a²-a-2)³=(2a-1)(a²-a-2)+2√(a²-a-2)³-3a-1>0恒成立,
∴ f(x₁)>0的解为a<-1,或a>2.3949,
(-a+√(a²-a-2))³+3a(-a+√(a²-a-2))²+3(a+2)(-a+√(a²-a-2))+1<0,即2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³<0,
令h(a)=2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³,则h‘(a)=6a²-6a-6-3(2a-1)√(a²-a-2),
令h‘(a)=0,即6a²-6a-6-3(2a-1)√(a²-a-2)=0,解得a=-2或3,h(-1)=2,h(2)=-7,h(3)=26,
当a<-1.175时,2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³<0恒成立,
当a>2时, 2a³-3a²-6a+1-2√(a²-a-2)³<0恒成立,
∴ f(x₂)<0的解为a<-1.175,或a>2,
∴函数f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1有三个零点,则实数a的取值范围为a<-1.175,或a>2.3949,
3、由1、知,-1≤a≤2。
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