Question

讨论函数在x=0处的连续性和可导性

讨论函数在x=0处的连续性和可导性如图

Answer 1

如图利用连续和可导的定义可说明f(x)在x=0处连续可导且导数为0，其中要用到一个性质：无穷小量乘有界量是无穷小量。

Answer 2

连不连续就看极限和函数值关系。x趋近于0，xsin(1/x)会趋近于0的，因为-1≤sin(1/x)≤1，所以x>0时0≤xsin(1/x)≤x，x、0在x趋近于0+的时候都是0，由夹逼原理可知x→0+时xsin(1/x)极限是0。完全类似可以证x<0的时候极限x→0-也是0。所以在0这一点x左右极限相等，均等于函数值0，所以连续。
看可不可导就列出定义式。f'(0)=[f(△x+0)-f(0)]/[△x-0](△x→0)=sin(1/△x)(△x→0)
显然(△x→0)时候sin(1/△x)值不定，可以在[-1,1]之间震荡，越来越快，所以没有极限，也就是导数不存在，这一点不可导。

Answer 3

x≥0时，y=|x|=x x=0时，y=0
x≤0时，y=|x|=-x x=0时，y=0
函数在x=0处连续。
x≥0时，y'=x'=1
x≤0时，y'=(-x)'=-1
1≠-1
函数在x=0处不可导。

Answer 4

因为lim(x--0)=0=在x=0处的函数值、所以函数在x=0处的连续。
用导数在0处的定义，lim(x--0)[X^2SIN(1/X)-0]/X=lim(x--0)XSIN(1/X)极限存在，并且为0
所以再x=0处可导