Question

f（x,y）=x^2+y^2+2,(x-3)^2+(y-4)^2=4,求f（x,y）的最值。要写过程。

f（x,y）=x^2+y^2+2,(x-3)^2+(y-4)^2=4,求f（x,y）的最值。

Answer 1

已知f(x，y)=x²+y²+2满足条件：(x-3)²+(y-4)²=4；求f(x，y)的最值。
解：作函数 F(x，y)=x²+y²+2+λ[(x-3)²+(y-4)²-4]；
令∂F/∂x=2x+2λ(x-3)=2(1+λ)x-6λ=0..........① ∂F/∂y=2y+2λ(y-4)=2(1+λ)y-8λ=0.......②;
(x-3)²+(y-4)²=4...........③; 由①得 x=3λ/(1+λ)；由②得 y=4λ/(1+λ)；
代入③式得：[3λ/(1+λ)-3]²+[4λ/(1+λ)-4]²=4解此方程得λ₁=-7/2; λ₂=3/2;
故得驻点M(x,y)：x=3(-7/2)/(1-7/2)=-21/(-5)=21/5；y=4(-7/2)/(1-7/2)=-28/(-5)=28/5;
驻点N(x,y):x=3(3/2)/(1+3/2)=9/5；y=4(3/2)/(1+3/2)=12/5;
故最小值f(x,y)=f(9/5，12/5)=(81/25)+(144/25)+2=(225/25)+2=9+2=11;
最大值f(x,y)=f(21/5，28/5)=(441/25)+(784/25)+2=(1225/25)+2=49+2=51.

追问

那如果f(x,y)=|x^2+y^2—2x+1|+|x^2+y^2+2x+1|呢？

那如果f(x,y)=|x^2+y^2—2x+1|+|x^2+y^2+2x+1|呢？