Question

线性代数中的秩的理解

关于非齐次方程组，假设未知数个数n=5，R（A）=R(A/B)=3
S=n-r=2，因此自由向量个数为2，也就是线性无关向量个数是2，但是矩阵的秩r=3，秩不也是表示线性无关向量的个数么，我想知道我的思路哪里错了，谢谢

Answer 1

继续回答是的。极大无关组书上给出定义，但是对于具体的方程组来说必须化简成阶梯才能看出来。化简之后阶梯每行第一个非零数对应的变量的存在意味着这个变量的系数不能再被消去了，肯定是有解的，那么其他不是第一非零元素的变量是可以被消去的。最后会发现这些所有的非零变量不是自由变量，它们都是被自由变量线性表出（控制）的变量，这个非自由变量的个数就是秩。其实关于解方程组得到的秩都是行秩，因为你只用了初等行变换，如果你进行列变换就是把变量的位置进行对应的更换，但是变量个数都没有变。

Answer 2

请注意两者说的不是同一个内容。R(A)=r说的是A的列向量组（或行向量组）的线性无关的向量个数，而n-r指的是AX=0的解向量组的线性无关的向量个数。