Question

请教数学大神一个问题，如下图所示

请教数学大神一个问题，如下图所示例3让求an的极限，直接解出A=1加根号2不就行了吗？为什么还有图二划线的那几步啊？后面划线的那几步目的是什么啊？

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Answer 1

是这样，你把等式两边取极限后确实能解出来，
但是两边取极限的前提是：这个数列有极限。
其实，划线部分，就是用定义证明这个数列有极限。
前面两边取极限的过程，应该写在草稿纸上（因为还没证明数列有极限），不然这个过程就是错的。
不懂请追问。

追问

意思是题目让我求极限，极限可能存在也可能不存在，所以先要证明an的极限存在，再去求极限。是这个意思吗？

an的极限存在，an+1的极限才等于an的极限，才能根据等式求出A是这样吧？

追答

可以这样理解。
当然，题目让你求极限，一般都是存在极限的，但是也有坑题是最后没有极限（趋于正无穷或者不存在），只是比较少见。
规范的（不扣分的）做法要先证明存在性。很多题这一步其实是最难的。

追问

好的，理解了，谢谢大神指教！