Question

矩阵中为什么矩阵的迹就是特征值的和为

Answer 1

1、因为特征多项式f(λ)=λ^n+c1λ^(n-1)+λ^(n-2)+...+cn是由行列式|λE-A|确定的根据韦达定理，特征值的和=-c1而在行列式|λE-A|中。只有(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)...(λ-ann)这项含有λ^(n-1)。

2、这项就是：-(a11+a22+a33+...+ann)λ^(n-1)所以特征值a11+a22+a33+...+ann

3、矩阵的迹：在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。

4、特征值：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

矩阵的迹性质:

1、其中Ai,j代表在 i 行 j 列中的数值。同样的，元素的迹是其特征值的总和，使其不变量根据选择的基本准则而定。迹的英文为“trace”，是来自德文中的“Spur”这个单字（与英文中的“Spoor”是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”。

2、迹是一种线性算子。亦即，对于任两个方阵A、B和标量r，会有下列关系：

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(rA) = r tr(A)

3、因为主对角线不会在转置矩阵中被换掉，所以所有的矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹：

参考资料：百度百科-矩阵的迹

参考资料：百度百科-矩阵特征值

参考资料：百度百科-韦达定理

Answer 2

因为特征多项式f(λ)=λ^n+c1λ^(n-1)+λ^(n-2)+...+cn
是由行列式|λE-A|确定的
根据韦达定理，特征值的和=-c1
而在行列式|λE-A|中，只有
(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)...(λ-ann)
这项含有λ^(n-1)，而且这项就是：
-(a11+a22+a33+...+ann)λ^(n-1)
所以特征值的和=a11+a22+a33+...+ann

Answer 3

因为特征多项式f(λ)=λ^n+c1λ^(n-1)+λ^(n-2)+...+cn
是由行列式|λE-A|确定的
根据韦达定理，特征值的和=-c1
而在行列式|λE-A|中，只有
(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)...(λ-ann)
这项含有λ^(n-1)，而且这项就是：
-(a11+a22+a33+...+ann)λ^(n-1)
所以特征值的和=a11+a22+a33+...+ann