Question

高等数学第四题第一小题

Answer 1

y=x/(1+x²)
y'=[(1+x²)+2x²]/(1+x²)²
=(1+3x²)/(1+x²)²>0
当x->负无穷时，y=0，所以y>=0,单调增加。
待补充完善。

追问

为什么是讨论x趋向负无穷

还有他的有界性怎么判断

追答

前面写得有错误，订正如下：
y=x/(1+x²)
y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²
=(1-x²)/(1+x²)²
当x1时，y'0，函数递增。
y"=[-2x(1+x²)²-4x(1+x²)(1-x²)]/(1+x²)^4

当x=±1时，y'=0取极值；
当x=-1时，y"=1/2>0 y取极小值-1/2，；
当x=1时，y"=-1/2±∞时，y->0
所以y有界，[-1/2,1/2]
单调区间为：当x0，函数递增；x>1时，y'<0，函数递减。