Question

设二阶常系数微分方程y"＋ay'＋βy＝γe∧x有一个特解为y＝e∧2x＋（1＋x)e∧x

设二阶常系数微分方程y"＋ay'＋βy＝γe∧x有一个特解为y＝e∧2x＋（1＋x)e∧x为什么根据这个特解就可以知道，特征根是2和1？(别网上复制粘贴，我没问怎么求系数，只想知道如何直接看出特征根为2和1)

Answer 1

由：y=e2x+（1+x）ex得： y′=2e2x+（2+x）ex， y″=4e2x+（3+x）ex，将y，y′，y″代入原微分方程，整理可得：（4+2α+β）e2x +（1+α+β）xex+（3+2α+β-γ）ex=0，① 因为：y=e2x+（1+x）ex是方程的一个特解，所以对于任意有定义的x，①式恒成立，所以有： 4+2α+β＝0 1+α+β＝0 3+2α+β?γ＝0 ．解得：α=-3，β=2，γ=-1，故原微分方程的具体表达式为： y″-3y′+2y=-ex，其对应齐次方程的特征方程为： λ2-3λ+2=0，求得特征值为：λ1=1，λ2=2，对应齐次方程的通解为： . y =C1ex+C2e2x，又因为：非齐次项为-ex，且λ=1为特征根，所以：可设原微分方程的特解为 y*=Axex，代入原微分方程可得：A=1，所以：y*=xex，由线性微分方程解的结构定理得原方程的通解为： y=. y +y*=C1ex+C2e2x+xex．

追问

怎么又是你？你的回答是错误的啊。别乱回答啊。