Question

问一道数学智力题,开关灯的那个

问一道数学智力题,开关灯的那个对一批编号为1～100,全部开关朝上(开)的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号.
这个我可以理解，最后熄灯状态的，一定是约数是奇数个的才是关着的。
答案提供的是只有n的指数倍的数字，约数才是奇数。这个是有什么定理还是什么？

Answer 1

这个不是约数为奇数个的问题，是因数分解有奇数个的才能使关着的。
以24号为例：
由于24=1x24
=2X12
=3X8
=4X6
( =6x4
=8x3
=12x2
=24x1 ）
所以取1，2，3，4，6，8，12，24的倍数时都会改变24号灯泡的明灭状态。
也就是说如果编号数的因数分解式只能写成MxN（且M不等于N）的形式，那么分解式MxN与NxM必然是成对出现的，则因数分解式的个数必然是偶数，所以灯肯定是开的，因数分解式个数如果要是奇数个，则编号必然能写成某个正整数平方的形式，且该正整数范围在1-10中。

Answer 2

但凡是有约数的，比如说12，12=1*12，它要么有一对不同的约数，那么，这两个约数分别开一下关一下，就相当于没操作；还有就是像9 = 3*3这样的有两个相同约数的，那么这一对约数就只作用了一次，这就起到了关键的作用，不知道我说清楚了没，欢迎追问。