Question

求帮我解一下这六道高数题，应该是拉格朗日那块的，需要详细过程，求大神





Answer 1

②令f(x)=arcsinx，x∈[a,b]
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(a,b)，使得f'(k)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
1/√(1-k^2)=(arcsinb-arcsina)/(b-a)
arcsinb-sina=(b-a)/√(1-k^2)
因为0<a<k<b<1，所以(b-a)/√(1-a^2)<(b-a)/√(1-k^2)<(b-a)/√(1-b^2)]
所以(b-a)/√(1-a^2)<arcsinb-sina<(b-a)/√(1-b^2)]
③令f(x)=arctanx+arctan(1/x)，(x>0)
因为f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+1/x^2)*(-1/x^2)
=1/(1+x^2)-1/(x^2+1)
=0
所以根据拉格朗日中值定理的推论，有在x>0上f(x)恒=常数C
因为f(1)=arctan1+arctan1=π/2
所以arctanx+arctan(1/x)=π/2
④令F(x)=x[f(1)-f(x)]，则F'(x)=f(1)-f(x)-xf'(x)
因为F(0)=0，F(1)=0，所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)=0
f(1)-f(ξ)-ξf'(ξ)=0
f(ξ)+ξf'(ξ)=f(1)