求下列幂级数的收敛域及其和函数

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可爱又平静灬mm7
2018-01-05 · 知道合伙人时尚行家
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知道合伙人时尚行家
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荣获北京协和化妆品研发中心2016年优秀员工称号。

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在展式Ln(1+t)=∑〔n=1到∞〕(-1)^n*t^(n+1)/(n+1)中,
令t=-x,可以得到一个展式,记为※
则本题级数=-x※=-xLn(1-x)。
因为上述-1<t《1,所以-1《x<1。

方法二,求和函数:
令S(x)=∑x^(n+1)/n=x*∑x^n/n
则S'(x)=【∑x^n/n】+【x*∑x^(n-1)】
其中第二个【…】=∑x^n=x/(1-x)★
令第一个【…】=h(x)
则h ' (x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)
故h(x)=∫〔0到x〕h ' (x)dx=-Ln(1-x)☆
于是得到S'(x)=☆+★
则S(x)=∫〔0到x〕(☆+★)dx
=-xLn(1-x)。
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