Question

关于二重积分的轮换对称性问题

设积分区域D：x^2+y^2=1。被积函数x^2为什么和y^2相等？

Answer 1

不是这样的，

1
对于Dxy是关于y轴对称的区域，满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy

（所以如果f(x,y)是个关于x的奇函数的话，f(-x, y)= -f(x,y)
所以∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy= -∫∫f(x, y)dxdy
得到∫∫f(x,y)dxdy=0）

2
如果Dxy是关于y=x对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy

（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y)，就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）

3
如果Dxy是关于y=-x对称，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy

4
关于Dxy是原点对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, -y)dxdy