讨论下列函数的可导性和解析性
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设z=x+iy
f(z)=e^z=e^(x+iy)=e^x·e^(iy)=e^xcosy+ie^xsiny
所以u=e^xcosy,v=e^xsiny
du/dx=e^xcosy
du/dy=-e^xsiny
dv/dx=e^xsiny
dv/dy=e^xcosy
由du/dx=dv/dy得e^xcosy=e^xcosy,可知该方程对于x,y∈R都成立
由du/dy=-dv/dx得-e^xsiny=-e^xsiny,可知该方程对于x,y∈R都成立
即对于z∈C,f(z)=e^z都满足柯西黎曼条件
所以f(z)=e^z在C上处处可导,故在C上处处解析
特别地,f(z)=e^z在z=0处解析.
f(z)=e^z=e^(x+iy)=e^x·e^(iy)=e^xcosy+ie^xsiny
所以u=e^xcosy,v=e^xsiny
du/dx=e^xcosy
du/dy=-e^xsiny
dv/dx=e^xsiny
dv/dy=e^xcosy
由du/dx=dv/dy得e^xcosy=e^xcosy,可知该方程对于x,y∈R都成立
由du/dy=-dv/dx得-e^xsiny=-e^xsiny,可知该方程对于x,y∈R都成立
即对于z∈C,f(z)=e^z都满足柯西黎曼条件
所以f(z)=e^z在C上处处可导,故在C上处处解析
特别地,f(z)=e^z在z=0处解析.
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