Question

系统的能量平衡方程

Answer 1

根据能量平衡原理，雪-冻融土壤系统中求解每个节点的能量平衡方程必须满足如下条件，即进入每一层的净能量通量等于系统内温度增加和/或相变。所有节点的能量平衡方程用Nemton-Raphson迭代技术同步求解。下面分别讨论雪和土壤层中的能量平衡方程。

1. 积雪层内的能量平衡

在我国北方大部分地区，土壤冻融期地表常覆盖有一定厚度的积雪，积雪层有时可延续2～3个月。雪的存在犹如一床大棉被，将大地严严实实地封存起来，对下伏土壤中热量的传输具有很大影响。积雪消融后，融雪水向下入渗，对土层的水量平衡产生作用。同时，积雪本身也在进行着一系列物理的积累、压密、消融等变化过程，其中的水、热迁移是一个重要的物理过程。

1）雪层内的能量平衡方程

对于积雪内的一个无限薄层来说，描述能量平衡的二阶偏微分方程为：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中为雪层内的热传导（W/m³）；S 为源/汇项（W/m³）；ρ_sp c_i为温度升高储存的能量（W/m³）；ρ_l L_f为融化雪所需的潜热（W/m³）；L_s（）为升华潜热（W/m³ ）。

以上各项中的变量为：

z从地表计算的雪层厚度（m）；k_sp雪层的热导率（W/m·℃）；T雪层的温度（℃）；L_s升华潜热（2835kJ/kg）；L_f融化潜热（335 kJ/kg）；q_v水汽传输通量（kg/m²·s）；ρ_sp雪层中冰的密度（g/cm³）；c_i冰的比热（J/kg·℃）；t时间（s）；ρ_l液态水密度（1000kg/m³）；w_sp雪中液态水所占体积分数；ρ_v雪层中的水汽密度（kg/m³）。

上式中的热迁移机理包括热传导和水汽迁移。能量储存项包括温度增加和融化潜热。液态水引起的热对流在该方程中没体现，但在每次时间步长计算结束后，在雪层的水量平衡计算中考虑了液态水引起的热对流。

2）方程中各项的确定

（1）热传导

雪层内能量传导的主要机理是冰晶之间和冰晶内部的热传导。许多研究者进行了实验研究，表明尽管雪晶体的几何条件对热传导有影响，但雪的热传导主要与其密度有关，其表达式为（Anderson，1976）：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，a_sp、b_sp和C_sp为经验系数，该式已经过许多室内实验验证。

（2）源（汇）项

能量方程中的源（汇）项是指由薄雪层内吸收的能量，这部分热量未被包含在能量平衡方程中的余项内。典型地，该项包括积雪吸收的短波和长波辐射。

（3）比热

当雪层温度T＜0℃时，吸收的能量必将引起雪层内温度的变化。雪的体积比热可根据雪层的密度ρ_sp和冰的比热c_i计量，冰的比热c_i为绝对温度的函数（Anderson，1962），即：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

根据List（1951）的研究结果，当温度变化在0～-80℃内时，由以上经验方程计算的比热在4J/kg·℃之内。

（4）融化潜热

当雪层处于0℃时，雪层吸收能量必将引起冰的融化。计算过程中假定雪层的含冰率在计算时间步长内是恒定的，该时段内的实际融化量将在该时段末根据系统的质量、能量平衡原理进行调整。

（5）升华潜热

升华传导的潜热是在温度梯度作用下，水汽通过雪层传导的结果。假定雪层中的水汽密度等于作用于冰上的水汽密度，那么它只是温度的函数。雪层的暖端水汽密度大，于是向冷端扩散，由于水汽过饱和，所以升华出现，同时释放潜热。冰的水汽密度与由冰点降低方程决定的水的水汽密度有关，即：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，M_w为水的分子重量（0.018kg/mol），R 为通用气体常数（8.3143J/mol·K）；T_k 为绝对温度；而为水的饱和水汽密度（kg/m³ ）。

Campbell（1977）给出了的近似经验表达式：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

通过雪层的水汽通量可由下式计算：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，D_e为水汽在雪中的有效扩散系数，其值随温度而变化（Anderson，1975）。

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，D _{e 0}为在0℃和101.3kPa条件下，水汽在雪中的有效扩散系数；Pa 为大气压（pas-cals）；n _d为经验指数。

雪层中小薄层的升华净潜热等于水汽密度的增量减去该层的净水汽传导。

2.土壤中能量平衡方程

1）冻融土壤中的能量方程

根据前面的推导，冻融土壤中包含源汇（项）的垂向一维能量方程为：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，）为进入土层的传导热（W/m³ ）；ρ_l c为水分通量所引起的热对流（W/m³ ）；S 为源（汇）项（W/m³ ）；C为温度增加储存的能量（W/m³）；ρ_i L_f为水分冻结所需潜热（W/m³）；L_v（）为蒸发潜热（W/m³ ）。

式中，z为从地表计算的深度（m）；λ为土壤的热导率（W/m·℃）；T为土壤温度（℃）；ρ_l为液态水密度（1000kg/m³）；c_l为液态水的比热容（4200J/kg·℃）；q_l为向下进入土壤的液态水通量（m/s）；C_s为土壤的体积热容（W/m·℃）；t为时间（s）；ρ_l为冰的密度（920kg/m³）；L_f为融化潜热（3350kJ/kg）；θ_i为体积含冰率（m³/m³）；L_v为蒸发潜热（2500kJ/kg）；ρ_v为土壤空隙中的水汽密度（kg/m³）；q_v为向下进入土壤的气态水通量（kg/）。

2）能量方程中各项的确定

（1）传导热

土壤的热传导由De Vries（1963）提供的理论计算。具有一定土壤含水率的土壤可概化为一个由粒状土壤、冰晶和各处分散的气阱和非饱和液态水组成的连续介质。这种介质的热导率可由下式计算：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，m_j表示第j种土壤组分（如土壤矿物颗粒、有机质、水、冰和汽）的权重因子，其值取决于土壤颗粒的形状和排列以及各组成物质热导率间的比值；k_j和θ_j分别表示第j种组分的热导率和单位体积土壤中第j种物质所占的体积比（cm³/cm³）。

（2）对流热

进入土壤的水所携带的热与沿水流运动方向的温度梯度成正比。水分从土壤较冷端运动到较暖端趋于降低暖端土壤温度。水分运动所传导的能量与水的比热成正比。

（3）比热

单位体积土壤温度增减1℃时所吸收或释放出的热量称为比热或比热容。土壤的体积比热容是各组分体积比热容之和：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，ρ_j，c_j和θ_j分别为第j种土壤组分（土壤矿物颗粒、水、冰和汽）的密度（kg/m³）、比热容（J/kg·℃）和体积百分比（cm³/cm³）。

de Vires（1968）和Kimball（1976）所测的土壤主要成分的比热容和热导率见表6-2。

表6-2 各种土壤成分的比热容和热导率

（4）融化潜热

由于土壤基质势和渗透势的存在，当温度降到0℃以下后土壤中始终存在未冻水。通常所遇到的整个冻结温度内，水与冰都共存于同一平衡状态。因此确定融化潜热之前，必须定义土壤的含冰率和温度之关系。当冰存在时，总的土水势是由冰的水汽压所控制的，其关系可由冰点降低方程给出（Fuchs et al.，1978）：

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，Ψ为总土水势（m）；Ψ_s为土壤水溶液的渗透势（m）；Ψ_m为土壤基质势（m）；g为重力加速度（m/s²）；T为水的冻结温度（℃）；T_K为绝对温度（K）。已知渗透势（由方程（6.116）计算），由土壤温度就可确定基质势，进而确定液态含水率。已知液态含水率，就能确定含冰率和潜热项。

（5）蒸发潜热

土层中的净蒸发潜热是根据水汽密度的增加率减去进入到土层中的净水汽传导而计算的。假定土壤中水汽密度与总水势平衡，则

水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动

式中，为饱和蒸气密度（kg/m³ ）；M _w为水的分子重量（kg/mol）；其余符号同前。