Question

已知实数x,y x·y+2x+y=4,求xy的最大值

Answer 1

这个题x,y要是正数吧，不然无解
xy+2x+y=4
可变为
(x+1)(y+2)=6
比如x=-1.1，y=-62时等式成立，此时xy=68.2
x=-1.01,y=-602时等式成立，此时xy=608.02
以此类推xy可以无穷大
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这里我们考虑x和y均为正数时的xy的最大值
令√(xy)=t
根据均值不等式我们有
2x+y≥2√(2xy)=(2√2)*t
所以
4=xy+2x+y≥t²+(2√2)*t
解不等式得
t≤√6-√2
所以
xy=t²≤8-4√3
所以
xy的最大值为8-4√3
此时x=√3-1， y=2√3-2

Answer 2

解：由已知xy+2x+y=4可得
x＝(4-y)/(y+2)，
xy＝(4y-y²)/(y+2)
＝(-y²-4y-4+8y+16-12)/(y+2)
＝[-(y+2)²+8(y+2)-12]/(y+2)
＝8-[(y+2)+12/(y+2)]，
由此可见：
若x,y可取任意实数，则xy无最大值，因为显然当y趋向-∞时，xy趋向+∞；
若x,y均为正实数，则因
xy＝8-[(y+2)+12/(y+2)]
≤8-2√12＝8-4√3，
且当 y+2=12/(y+2)，即 y=2√3-2，而
x=(4-y)/(y+2)=(6-2√3)/(2√3)=√3-1时等号成立，所以xy的最大值为8-4√3 .