Question

大学数学分析 高等数学 反常积分中的瑕点是什么意思呢？到底是去无穷大的点还是不存在的间断点？

如果是无穷大的点，那整个函数不就不收敛么！那为什么有瑕点的函数还要判断是否收敛，求大神解答，谢谢🙏

Answer 1

因为这是反常积分，必须按照定义去求。暇点就是被积函数发散的点，即被积函数在暇点无界，趋于无穷。这与一般积分要求的被积函数要为有界函数相违背，所以必须先判断暇积分是否收敛（而不是判断被积函数是否收敛，被积函数在暇点一定是发散的），确定其收敛后再求具体值

Answer 2

大学数学分析 高等数学 反常积分中的瑕点是“被积函数无穷间断的点”意思，是去（趋于）无穷大的点也是函数值不存在的点。

Answer 3

∫(0,1)x^(-1/2)dx
=lim(t→0+)[∫(t,1)x^(-1/2)dx]
=lim(t→0+)[2x^(1/2)|(x=t,1)]
=lim(t→0+)[2-2t^(1/2)]
=2
∫(0,1)x^(-1)dx
=lim(t→0+)[∫(t,1)x^(-1)dx]
=lim(t→0+)[ln|x||(x=t,1)]
=lim(t→0+)[0-lnt]
发散到负无穷
以上两个积分中被积函数在x=0处都趋于无穷，但积分结果一个收敛一个发散
另外瑕点还包括可去间断点，∫(0,1)(x/sinx)dx