Question

设f(x) ，g(x)在【a,b】连续，在（a,b)内可导，f(x)g(x)≠0，且f'(x)g(x)<f(x)g'(x),则当 a<x<b时，有：

A.f(x)g(x)<f(a)g(a)
B.f(x)g(x)<f(b)g(b)
C.f(x)/g(x)<f(a)/g(a)
D.f(x)/g(x)<f(b)/g(b)

A为什么不对

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

构造
F(x)=f(a)g(x)+g(b)f(x)-f(x)g(x)，
有
F(a)=f(a)g(b)=F(b)，
所以存在ξ∈(a,b)，使得
F'(ξ)=0，
这个式子整理一下就是你要证的式子了。
构造这个函数的思路是把题目里的式子交叉相乘相减，把ξ换成x再积分。

Answer 3

A为什么不对
e.g
f(x) =x ; [1,2] 连续, 在(1,2)内可导
g(x) =1/x ; [1,2] 连续, 在(1,2)内可导
f(x).g(x) = 1
f(1).g(1) = 1
f(x)g(x)<f(a)g(a) : 不对