Question

如何求f（x）＝-x+√-x²-2x＋1的值域？

能不能用高一的方法？

Answer 1

解：f(x)=-x+√[2-(x^2+1)^2]; 根据函数的定义域：2-(x^2+1)^2>=0; 方程两边同时乘以（-1）有：(x^2+1)^2-2<=0; (x+1)<=√2和x+1>=-√2; -(1+√2)<=x<=√2-1;
f(-1-√2)=(1+√2); f(√2-1)=-√2+1; 对于√[2-(x^2+1)^2]的极大值为√2，此时x=-1;
f（-1）=1+√2=f(-1-√2); 没有超出f(x)的值域；所以f(x)∈[-√2, 1+√2]。

Answer 2

f（x）＝-x+√(-x²-2x＋1)=-x+√[2-(x+1)^2],
设x=-1+√2sinu(-π/2<=u<=π/2),则
f(x)=1-√2sinu+√2cosu
=1-2sin(u-π/4),
v=u-π/4的值域是[-3π/4，π/4],
w=sinv的值域是[-1,1/√2],
所以f(x)=1-2w的值域是[1-√2,3],为所求。

追问

那如果√里是2＋（x＋1）²，怎么三角换元呢？