Question

求解答一道数学题

如图，A、B、C、D四点都在圆O上，AD是圆O的直径，且AD=5根号2cm，AB=4根号2cm，若∠ABC=∠CAD，求弦AC及BC的长。

Answer 1

连结CD，∵∠ABC=∠CAD
∴弧AC=弧CD
∴△ACD是等腰直角三角形，
AC=ADsin45º=5√2×√2/2=5
在△ABC中，∠ABC=45º
AC²=AB²+BC²－2ABBCcos45²
25=32+BC²－8√2BC×√2/2
BC²－8BC+7=0
解出BC=7或BC=1

Answer 2

连接DC
∵∠DAC=∠ABC
∴DC=AC（等圆周角所对弦相等)
又AC为直径
∴△ADC为直角等腰三角形（直径上的圆周角=90°）
根据直角等腰三角形边的关系有：
1：√2=AC：5√2
AC=5cm。
连接BD，BC与AD相交于F，
△ABD为直角三角形（直径上的圆周角=90°）
∴BD=√AD²-AB²=4.23
则有△ABF∝△CDF
△BFD∝△AFC（圆内接四边形的性质）
∴4√2：5=BF：FD （1）
4.23：5=（5√2-FD）：BF （2）
将（1）变形后代入（2）求出BF
和FD，再利用相似比求出FC
BC=FC+BF。

Answer 3

用相似三角形证明较直观、简洁。原理1；等边对等角，∠ACB=∠CAD，原理3；三角形内角和为180°，所以三角形ABD与三角形ACB相似，
原理2；两角一夹边。所以三角形ABD与三角形ACB相等。判断出AD=BC=5根号2cm.
其余类似；主要反复应用原理1、2、3；可判断整个四边形ABCD是矩形。结果不难得出，此处恰是提高你的逻辑思维能力点，不能再提示，不能依靠网上搜结果呀！

Answer 4

欢欢喜喜q 的答案正确。如果允许使用余弦定理的话，这个方法就比较简单了。

如果不允许使用余弦定理，那么可以根据△CEA和△CAB相似，△CED和△AEB相似，列几个方程然后求解。

追问

没有E点哦

追答

就是bc和ad的交点

Answer 5

连接DC，同段弦AC，角ABC=角ADC=角DAC
AO直径，角ACD=90度，2*AC平方=AD平方，AC=5
BC=2*OB*SIN(角BAD+角DAC）

追问

AC为什么等于CD？

追答

角ADC=角ABC=角CAD,等腰直角三角形

追问

求BC的长有简单点方法吗，sin和cos小孩子没学呢

追答

BC与AD交点E,用相似三角形求