Question

讨论y＝x∧2sin1/x,x≠0 =0, x=0 在x=0处的连续性与可导性，这个要怎么求啊？

Answer 1

sin(1/x)在x趋近0时是个有界函数，有界函数和无穷小的积就为0了。

x趋向0时有f(x)也趋du向于0=f(0)，按定义，它在x=0处连续

x趋向0时[f(x)- f(0)]/x = f(x)/x = xsin(1/x)有极限0，故它在x=0处可版导，且导权数为0

利用定义来求

f '(0) = lim(x->0) [ f(x) - f(0) ] / (x-0)

= lim(x->0) x² sin(1/x) / x 

= lim(x->0) x sin(1/x) 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小

= 0

扩展资料：

（1）连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。

一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。

这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在x0 处有定义；

（2）x-> x0时，limf(x)存在；

（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。

初等函数在其定义域内是连续的。

参考资料来源：百度百科-函数可导性与连续性

Answer 2

lim(x→0)x^2sin(1/x)=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续
∵f'-(0)=lim(x→-0)[x^2sin(1/x)-f(0)]/x=lim(x→-0)xsin(1/x)=0
∵f'+(0)=lim(x→+0)[x^2sin(1/x)-f(0)]/x=lim(x→+0)xsin(1/x)=0
∴f'-(0)=f'+(0)=0
即f'(0)=0
所以f(x)在x=0处可导.

Answer 3

引用bill8341的回答：
lim(x→0)x^2sin(1/x)=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续
∵f'-(0)=lim(x→-0)[x^2sin(1/x)-f(0)]/x=lim(x→-0)xsin(1/x)=0
∵f'+(0)=lim(x→+0)[x^2sin(1/x)-f(0)]/x=lim(x→+0)xsin(1/x)=0
∴f'-(0)=f'+(0)=0
即f'(0)=0
所以f(x)在x=0处可导.

你这个有问题，0乘无穷型怎么就等于0了？ lim(x->0)x*sin(1/x) 这能直接算？ 这需要进行替换吧？ 换成 lim(x->0)sin(1/x)/(1/x)吧？ 用替换sin(1/x)~1/x 你这个答案了可能对，但你这样写就不对。 你的解题步骤有问题。

Answer 4

sin(1/x)在x趋近0时是个有界函数，有界函数和无穷小的积就为0了

Answer 5

简单分析一下，详情如图所示